Matematica y Probabilidad

En Construcción

Existe en general cierta aversión a las matemáticas, la mayoría no lo considera trascendental, pero existen ciertos principios que al desconocer sobre la realidad del mundo, nos impiden interpretarla de forma correcta, que a fin de cuentas nos llevaran a errores del razonamiento, tales como la correcta interpretación de las probabilidades y de las estadísticas.

Empecemos con la probabilidad

PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD


El punto es entender la diferencia entre reconocer un suceso como determinista o probable. En un suceso determinista sabemos lo que va a sucederá, en un suceso probable, por el contrario, no hay manera de saberlo con precisión aunque podríamos conocer varias opciones y sabemos que algunas tienen mas posibilidades que otras,
El problema consiste en que en el momento de razonar, aunque cueste creerlo, mucho confundimos uno con el otro, en el momento de tomar decisiones, el problema no es que no sepamos que un hecho es probable o no, el problema es que no actuamos como si fueran un hecho probabilistico, por ejemplo, cuando alguien hace un préstamo, hipotecando su casa para invertir en una pirámide (esquema ponzi), asume como determinista que lo va a obtener, un estudio mejor determina la probabilidad en un diez por ciento, aunque este es un ejemplo extremo, no debemos olvidar en el momento de tomar una decisión, que en la gran mayoría de los casos trabajamos con probabilidades, y si no entendemos el concepto, frecuentemente le estaremos dando mas valor al azar sin saberlo de lo que deberíamos.


Si lanzamos una piedra al aire, esperamos (determinista) que esta volverá a caer, por el contrario, cuando lanzo una moneda no puedo saber si caerá cara o sello, si lanzo un dado tampoco sabré que numero caerá, depende del azar es aleatorio

Una experiencia es de azar si no se puede predecir el resultado, y sus experimentos son conocidos como aleatorios

La mayoría de los experimento que realizamos en física son determinista.

En un experimento de tipo aleatorio, el conjunto determinado por TODOS los resultados posibles, es conocido como ESPACIO MUESTRAL (E),  por ejemplo al lanzar un dado, los posibles resultados son 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6), al lanzar una moneda una vez los resultados posibles son cara y cruz (cara, cruz).

Si lanzo tres monedas, ¿cual será el espacio muestral?

existen ocho eventos posibles

CCC
CCX
CXC
CXX
XCC
XCX
XXC
XXX

¿Cual es el espacio muestral de extraer dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras?

Tres eventos posibles, dos blancas, dos negras o una blanca y una negra.

Un SUCESO de un experimento aleatorio es cada uno de los Subconjuntos.

Por ejemplo si yo lanzo un dado, el espacio muestral es:

(1, 2, 3, 4, 5, 6)

ejemplos de sucesos:

Salir un numero par (2, 4, 6)


Salir un numero par (2, 4, 6)
Salir un numero primo (1, 2, 3, 5)
Salir un numero menor que 4 (1, 2, 3)
Salir 3 (3)
Salir un multiplo de 3 (3, 6)



los SUCESOS pueden ser de varios tipos
Suceso Simple o elemental, el que tiene un único elemento (salir un 3)
Suceso Compuesto, esta determinado por dos o mas resultados del mismo(numero par)
Suceso Seguro, esta formado por todos los resultados posibles, coincide con el Espacio Muestral
Suceso Imposible, el que nunca se verifica (numero 7)


Si en una lotería de 1000 números compro un billete, el espacio muestral estará formado por cada uno de los números del 0001 al 1000, mil números, es obvio que entre mas números compre, mas probabilidades tendré de ganar
¿Que tanto?
Eso se determina por la LEY DE LAPLACE, la cual corresponde al numero de casos favorables sobre el numero de casos posibles



Si compro un billete la probabilidad según LAPLACE será 1/1000 ó 0,001 ó 0,01%
Si compro 5 billetes la probabilidad según LAPLACE será 4/1000 ó 0,004 ó 0,04%


La probabilidad de obtener un 3 en un dado es 1/6, ó 0,166 o 16.6%
La probabilidad de obtener un par en un dado es 3/6 ó 0,5 ó 50%


FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA

Una de los mas frecuentes errores que cometemos es confundir la frecuencia absoluta con la frecuencia relativa.
Frecuencia Absoluta, El numero de veces que se repite un evento cada vez que este se puede presentar
Frecuencia Relativa, es el valor previo, la Frecuencia absoluta, sobre el numero de veces que se pudo presentar

Si lanzo una moneda una vez, esta puede ser cara o cruz, si la lanzo diez veces (n=10) y el suceso "cara" se presenta 7 veces (Frecuencia Absoluta = 7), la frecuencia relativa seria 7/10 ó 0,7 ó 70%


LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
También es conocida como ley del azar, la cual dice que si determinado experimento se sigue realizando de forma continua la Frecuencia Relativa de cada suceso tiende a aproximarse a un numero fijo el cual es conocido como la PROBABILIDAD DE UN SUCESO

¿Por que es conocida como ley de los grandes números?
Por que con números grandes son necesarias para poder estar seguro de la probabilidad de un evento, el ignorar esta ley nos lleva a sacar conclusiones con números pequeños, es una falacia estadística, al realizar estadísticas con números pequeños llevandonos al error.

Yo se que si lanzo una moneda una vez, como conozco todos los eventos posibles, cara o cruz, se que la posibilidad que caiga en cara es de 0.5 o 50%, lo calculo con la ley de Laplace (al dividir 1 sobre 2), pero si no lo puedo calcular, por que desconozco una de las variables, podría calcularla repitiendo el experimento varias veces, el problema es que si no lo repito suficientes veces el error me lleva al error.

Digamos que yo no se la probabilidad de que caiga cara, así que lanzo la moneda diez veces y anoto el resultado

CCXXCCCXCX

La frecuencia relativa es del 70%, podría erradamente afirmar que la posibilidad de Cara es del 70%, llegue erradamente a esa concluion por que solo lo lanze diez veces, si por el contrario lanzo la moneda 1000 veces, la frecuencia relativa según la LEY DE LOS GRANDES NUMEROS, debe aproximara a la verdadera probabilidad, 50%, así después de lanzarla 1000 veces  la moneda caerá  cara cerca de 500 veces

Al lanzar una moneda diez veces, si cae cara 7 veces (70%), no puedo afirmar que la moneda este trucada, pero si la lanzo mil veces y la moneda cae cara 700 veces (70% también) seguramente si estará trucada, a pesar que en ambos casos la frecuencia relativa es del 70%, es el riesgo de confundir frecuencias relativas con absolutas, ya que se interpretan de forma muy diferentes













ESTADISTICA EN LA ARGUMENTACION